Question

已知如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°，圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形（如圖2）．記AB的長(zhǎng)度為a，BM的程度為b．
（1）圖形①中∠B=

72

度，圖形②∠E中=

36

度；
（2）愛動(dòng)腦筋的小聰同學(xué)，將圖形①命名為“風(fēng)箏一號(hào)”，圖形②命名為“飛鏢一號(hào)”，他用這兩種紙片各若干張，設(shè)計(jì)了以下拼圖游戲，請(qǐng)你和他一起玩吧：

①若僅用“風(fēng)箏一號(hào)”拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形（正十邊形是指所有的邊相等，所有的角也相等的十邊形），需要這種紙片

5

張；
②若同時(shí)使用若干張“風(fēng)箏一號(hào)”和“飛鏢一號(hào)”拼成了一個(gè)“大風(fēng)箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ，請(qǐng)你在圖3中畫出拼接餡餅保留作圖痕跡．
（本題中均為無重疊、無縫隙拼接）

Answer 1

分析：（1）連接AM，根據(jù)三角形ADM和三角形ABM的三邊對(duì)應(yīng)相等，得到兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到角B和角D相等，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，由角DAB和角DMB的度數(shù)，即可求出角B的度數(shù)；根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，得到AB與DC平行，得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度數(shù)即可求出角FEC的度數(shù)；
（2）①由題意可知，“風(fēng)箏一號(hào)”紙片中的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，由角DAB為72°，根據(jù)周角為360°，利用360°除以72°即可得到需要“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的張數(shù)；
②以P為圓心，a長(zhǎng)為半徑畫弧，與PI和PJ分別交于兩點(diǎn)，然后以兩交點(diǎn)為圓心，以b長(zhǎng)為半徑在角IPJ的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與點(diǎn)Q，畫出滿足題意的拼接線．

解答：解：（1）連接AM，如圖所示：
∵在△ADM和△ABM中

AD=AB DM=MB AM=AM

，
∴△ADM≌△ABM（SSS），
∴∠D=∠B，
又因?yàn)樗倪呅蜛BMD的內(nèi)角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，
∴∠B=

360°-72°-144°

2

=72°；
在圖2中，∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，
∴∠CEF=180°-72°-72°=36°；

（2））①用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，
得到“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，
則需要這種紙片的數(shù)量=360°÷72°=5；

②根據(jù)題意可知：“風(fēng)箏一號(hào)”紙片用兩張和“飛鏢一號(hào)”紙片用一張，
畫出拼接線如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：此題考查掌握菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩三角形的全等得到對(duì)應(yīng)的角相等，掌握密鋪地面的秘訣，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維．