Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=

3

5

，求CD的長(zhǎng)；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)銳角三角函數(shù)求得直角三角形ABC的兩條直角邊，再根據(jù)面積計(jì)算其斜邊上的高，進(jìn)一步根據(jù)垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)；
（2）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余結(jié)合已知條件求得扇形所對(duì)的圓心角，進(jìn)一步求其面積．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，OD=5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=

BD

AB

，sin∠BAD=

3

5

，
∴

BD

10

=

3

5

，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8，
∵∠ADB=90°，AB⊥CD，
∴DE•AB=AD•BD，CE=DE，
∴DE×10=8×6，
∴DE=

24

5

∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴

CB

=

BD

，

AC

=

AD

，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
設(shè)∠ADO=4x，則∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，則∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°，
∴∠AOC=∠AOD=100°，
∴S_扇形OAC=

100

360

×π×52=

125

18

π．

點(diǎn)評(píng)：本題為圓的綜合題，綜合考查了解直角三角形、三角函數(shù)、陰影部分面積等相關(guān)知識(shí)．