Question

正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，P點(diǎn)在直線BC上，PB=1，將直線AP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與直線CD交于Q，則CQ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：分①點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，從而得到∠ABP=∠ADQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得利用同角的余角相等求出∠PAB=∠QAD，然后利用“角邊角”證明△APB和△AQD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DQ=PB；②點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，同理求出DQ的長(zhǎng)，再根據(jù)CQ=CD+DQ計(jì)算即可得解．

解答：解：①點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABP=∠ADQ=90°，
∵AP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AQ，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAB+∠BAQ=90°，
又∵∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°，
∴∠PAB=∠QAD，
∵在△APB和△AQD中，

∠ABP=∠ADQ AB=AD ∠PAB=∠QAD

，
∴△APB≌△AQD（ASA），
∴DQ=PB=1，
∴CQ=CD-DQ=4-1=3；
②點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2，同理求出DQ=PB=1，
∴CQ=CD+DQ=4+1=5，
綜上所述，CQ的長(zhǎng)是3或5．
故答案為：3或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并求出DQ=PB是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．