Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O經過點D．

小題1:（1）求證：BC是⊙O切線；
小題2:（2）若BD=5，DC=3，求AC的長．

Answer 1

小題1:解：（1）證明：如圖1，連接OD．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD． ………………1分
∴∠ODA=∠CAD．    
∴OD//AC．         …………………………………2分
∴∠ODB=∠C=90°．
∴BC是⊙O的切線．    ……………………………3分         
小題2:（2）解法一：如圖2，過D作DE⊥AB于E．
∴∠AED=∠C=90°．
又∵AD=AD，∠EAD=∠CAD，
∴△AED≌△ACD．
∴AE=AC，DE=DC=3．
在Rt△BED中，∠BED =90°，由勾股定理，得                  圖2
BE=．………………………………………………………4分
設AC=x（x>0），則AE=x．
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=BD+DC=8，AB=x+4，由勾股定理，得
x² +8²= （x+4）²． 
解得x=6． 
即AC=6．            …………………………………………………………5分
解法二：如圖3，延長AC到E，使得AE=AB．
∵AD=AD，∠EAD =∠BAD，
∴△AED≌△ABD．
∴ED=BD=5． 
在Rt△DCE中，∠DCE=90°，由勾股定理，得
CE=．………………………4分          圖3
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=BD+DC=8，由勾股定理，得     
AC² +BC²= AB²． 
即AC² +8²=（AC+4）²．
解得AC=6．         …………………………………………………………5分

略