Question

如圖1，已知有一張三角形紙片ABC的一邊AB=10，若D為AB邊上的點，過點D作DE∥BC交AC于點E，分別過點D、E作DF⊥BC于F，EG⊥BC于G，把三角形紙片ABC分別沿DE、DF、EG按圖1方式折疊，點A、B、C分別落在A′、B′、C′處．若點A′、B′、C′在矩形DFGE內或者其邊上，且互不重合，此時我們稱△A′B′C′（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．
實踐探究：
（1）當AD=4時，
①若∠A=90°，AB=AC，請在圖2中畫出“重疊三角形”，S△A′B′C′=    ；
②若AB=AC，BC=12，如圖3，S△A′B′C′=    ；
③若∠B=30°，∠C=45°，如圖4，S△A′B′C′=    .
（2）若△ABC為等邊三角形（如圖5），AD=m，且重疊三角形A′B′C′存在，試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A′B′C′ 的面積，并寫出m的取值范圍.

Answer 1

（1）①2；②；③；（2）.

試題分析：（1）仔細分析題意，根據“重疊三角形”的定義結合三角形的面積公式求解即可；
（2）由AD=m可得A´D=AD=m，B´D=BD=10-m，則可得A´B´=10-2m，先證得△A´B´C´為等邊三角形，根據三角形的面積公式可表示出△A´B´C´的面積，由B´C´＞0 結合B´C´≤FG 即可得到關于m的不等式組，從而求得結果.
試題解析：（1）由題意得①2；②；③；
（2）∵A’D=AD=m，B’D=BD=10－m，
∴ A’B’=10－2m
可證△A’B’C’等邊三角形，
∴S_{△A′B′C′}= (10－2m)²= (5－m)²
由B’C’＞0，得
10－2m＞0，
∴m＜5
由B’C’≤FG，得
10－2m≤m ，
∴m≥ 
∴m的取值范圍為≤m＜5