如圖①,直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°,其三邊上分別有一個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作:由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形,再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形.圖②是一次操作后的圖形.

(1)試畫出2次操作后的圖形.

(2)如果原來(lái)直角三角形斜邊長(zhǎng)為1厘米,寫出2次操作后的圖形中所有正方形的面積和.

(3)如果一直畫下去,你能想像出它的樣子嗎?

(4)下圖是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形,人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.如果最初的直角三角形等腰直角三角形,你能想像出此時(shí)“畢達(dá)哥拉斯樹”的形狀嗎?

 

答案:略
解析:

(1)2次操作后的圖形如圖所示.

(2)所有正方形的面積和為4平方厘米.

(3)如果這個(gè)“畢達(dá)哥拉斯樹”一直畫下去,那么當(dāng)我們?nèi)我馊〕鏊囊徊糠郑⑺糯,就可以發(fā)現(xiàn)它與原來(lái)的整體相似,這樣的圖形稱為自相似圖形,也稱為分形圖.

(4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形,“畢達(dá)哥拉斯樹”將是軸對(duì)稱的.


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(1)如圖1,當(dāng)直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點(diǎn),
PB
PQ
=
 
;
(2)如圖2,當(dāng)另一條直角邊和邊CD的延長(zhǎng)線相交于Q點(diǎn)時(shí),
PB
PQ
=
 
;
(3)如圖3或圖4,當(dāng)直角頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC或CA的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)你在圖3或圖4中任選一種情形,求
PB
PQ
的值,并說(shuō)明理由.
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(平方單位).

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