Question

如圖，一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線AC所在的直線上滑動(dòng)，并使得一條直角邊始終經(jīng)過(guò)B點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點(diǎn)，

PB

PQ

=

 

；
（2）如圖2，當(dāng)另一條直角邊和邊CD的延長(zhǎng)線相交于Q點(diǎn)時(shí)，

PB

PQ

=

 

；
（3）如圖3或圖4，當(dāng)直角頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC或CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖3或圖4中任選一種情形，求

PB

PQ

的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由圖1、2可知過(guò)點(diǎn)P作正方形對(duì)邊CD、AB的垂線垂足為M、N，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出

PB

PQ

=1；證明圖3、4可以仿照這種方法進(jìn)行．

解答：解：（1）1；

（2）1；

（3）如圖3，

PB

PQ

=1，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足N在AB的延長(zhǎng)線上，PN交CQ于點(diǎn)M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠PBN=90°-∠BPN，
∴△PMQ≌△BNP，（ASA）
∴PQ=PB，
∴

PB

PQ

=1，
如圖4，

PB

PQ

=1，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足N在BA的延長(zhǎng)線上，PN的延長(zhǎng)線交CQ于點(diǎn)M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
易證△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
又∠1=∠2=90°-∠BPN，
∴△BNP≌△PMQ（ASA），
∴PB=PQ，
∴

PB

PQ

=1．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚正方形對(duì)角線上點(diǎn)的特點(diǎn)，正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題能力．