Question

5．如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：∠AEC=∠CFE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠ACB=90°求出∠B+∠BCD=90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠CDB=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠AEC+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD=90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=∠FAD，再根據(jù)對頂角相等可得∠CFE=∠AFD，然后等量代換即可得證．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠B=∠ACD，
∴∠B+∠BCD=90°，
又∵∠CDB+∠B+∠BCD=180°，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；

（2）在△ACE中，∠AEC+∠CAE=90°，
在△AFD中，∠FAD+∠AFD=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAD，
∴∠AEC=∠AFD，
又∵∠CFE=∠AFD，
∴∠AEC=∠CFE．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，對頂角相等的性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．