Question

4．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若m＞n＞2，比較m²-4m與n²-4n的大小；
（3）將拋物線y=ax²+bx+c平移，平移后圖象的頂點(diǎn)為（h，k），若平移后的拋物線與直線y=x-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)用含h的代數(shù)式表示k．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先確定拋物線對(duì)稱軸方程，然后二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)m＞n＞2，m²-4m+1＞n²-4n+1，整理得到m²-4m＞n²-4n；
（3）設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=（x-h）²+k，由于直線y=x-1與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則說明方程x-1=（x-h）²+k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，然后把方程整理為一般式后△=0即可得到h與k的關(guān)系式．

解答 解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=-2}\\{9a+3b+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為y=x²-4x+1；
（2）∵y=（x-2）²-3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
∵m＞n＞2，
∴m²-4m+1＞n²-4n+1，
∴m²-4m＞n²-4n；
（3）設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=（x-h）²+k，
∵直線y=x-1與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x-1=（x-h）²+k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
整理得x²-（2h+1）x+h²+k+1=0，
∴△=（2h+1）2-4（h²+k+1）=0，
∴k=h-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了拋物線與直線的交點(diǎn)問題．