Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA、OC分別為12cm、6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．
①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1)拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣12；
(2)①S=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②當(dāng)t=3時(shí)，S取最大值為9,點(diǎn)R坐標(biāo)為（3，﹣18），理由見解析．

解析試題分析：（1）把點(diǎn)A代入解析式求出c和a，最后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求出b，即可求出最后結(jié)果．
（2）①本題需根據(jù)題意列出S與t的關(guān)系式，再整理即可求出結(jié)果．
②本題需分三種情況：當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，然后分別代入拋物線的解析式中，即可求出結(jié)果．
試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意知點(diǎn)A（0，﹣12），
所以c=﹣12，
又18a+c=0，
，
∵AB∥OC，且AB=6，
∴拋物線的對(duì)稱軸是x=，
∴b=﹣4，
所以拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣12；
（2）①S=·2t(6﹣t)=﹣t²+6t=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②當(dāng)t=3時(shí)，S取最大值為9．
這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，﹣12），
點(diǎn)Q坐標(biāo)（6，﹣6），
若以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，﹣18），將（3，﹣18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)就是（3，﹣18），
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，﹣6），將（3，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件．
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)（9，﹣6），將（9，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件．
綜上所述，點(diǎn)R坐標(biāo)為（3，﹣18）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．