Question

如圖①在梯形ABCD中，AD∥BC。AB=DC
（1）如果點P，E和F分別是BC，AC和BD的中點，證明：AB=PE＋PF
（2）如果點P是線段BC上任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，如圖②所示，那么AB=PE＋PF這個結(jié)論還成立嗎？請說明理由
（3）如果點P在線段BC的延長線上， PE∥AB，PF∥DC，其他條件不變，那么結(jié)論AB=PE＋PF是否成立？直接寫出結(jié)論，不必證明。

Answer 1

（1）證明：∵P、F分別為BC、BD的中點，
∴PF=CD，
同理：PE=AB，
又∵AB=CD，
∴PF=AB，
∴AB=PE+PF；
（2）答：成立，AB=PE+PF．
證明：延長PE交AD于G，
∵AG∥BP，AB∥PG，
∴四邊形ABPG為平行四邊形．
∴AG=BP，∠AGP=∠ABP．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB且BC為公共邊，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠FBP，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠FBP，
∵FP∥CD，
∴∠FPB=∠DCB．
∴∠FPB=∠AGE．
∴△AEG≌△BPF（ASA）．
∴AB=PG=PE+PF．
（3）答：AB=PF-PE．

（1）由于PF是△BDC的中位線，PE是△ABC的中位線而AB=CD，故有PF=PE;
（2）延長PE交AD于G，易證：四邊形ABPG為平行四邊形，可證：△AEG≌△BPF，得EG=PF，故有AB=PG=PE+PF;
（3）延長AD交EP于G，易證：四邊形DGPC為平行四邊形，可證：△DFG≌△CPF，得FG=PF，故有AB=PG=PE-PF.