Question

【閱讀理解】如圖a，在△ABC中，D是BC的中點．如果用S_△ABC表示△ABC的面積，則由等底等高的三角形的面積相等，可得S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC．同理，如圖b，在△ABC中，D、E是BC的三等分點，可得S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．
【結論應用】已知：△ABC的面積為42，請利用上面的結論解決下列問題：
（1）如圖1，若D、E分別是AB、AC的中點，CD與BE交于點F，△DBF的面積為

 

；

【類比推廣】
（2）如圖2，若D、E是AB的三等分點，F(xiàn)、G是AC的三等分點，CD分別交BF、BG于M、N，CE分別交BF、BG于P、Q，求△BEP的面積；
（3）如圖2，問題（2）中的條件不變，求四邊形EPMD的面積．

Answer 1

考點：三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)中位線的性質得到△DOE∽△COB，再用相似三角形的性質，對應邊的比等于相似比，

DF

CF

=

DE

BC

=

1

2

，求得S_△BDF：S_△DBC=1：3，進而求得S_△BDF：=

1

6

S_△ABC，即可求得；

（2）連AP，AM，設S_△BPE=a，S_△AFP=b，根據(jù)S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．列出關于面積的方程組，解方程組即可求得；
（3）先根據(jù)S_△ABD=S_△ADE=S_△AEC=

1

3

S_△ABC．求得四邊形ADMF的面積，利用S_{四邊形EPMD}=S_△ABF-S_△BEF-S_{四邊形ADMF}即可求得；

解答：解：（1）如圖1，∵D，E分別是AB，AC的中點，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，
∴

DF

CF

=

DE

BC

=

1

2

，
∴S_△BDF：S_△DBC=1：3，
∵S_△BDC=

1

2

S_△ABC，
∴S_△BDF：=

1

6

S_△ABC=

1

6

×42=7，

（2）如圖2，連AP，AM，設S_△BPE=a，S_△AFP=b，
則S_△APE=2a，S_△PCF=2b，
則

3a+b= 1 3 S△ABS 2a+3b= 2 3 S△ABC

，
即

3a+b= 1 3 ×42 2a+3b= 2 3 ×42

，
解得

a=2 b=8

．
故△BEP的面積為2；

（3）設S_△AMD=x，S_△AMF=y．
則

x+3y= 1 3 S 3x+y= 1 3 S

，
即

x+3y=14 3x+y=14

兩式聯(lián)立可得：x+y=6，
即S_{四邊形admf}=6；
故S_{四邊形EPMD}=S_△ABF-S_△BEF-S_{四邊形ADMF}=14-2-6=6；

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，得到相似三角形，并求出三角形的相似比，然后用相似三角形的性質進行計算求出三角形的面積，并結合二元一次方程組的應用，求一些關系復雜的圖形面積，代數(shù)化是一個重要技巧，利用代數(shù)化，能清晰明朗地表示圖形面積之間的關系，從而可以化解或降低問題的難度．