Question

1．在直線上順次取A，B，C三點，分別以AB，BC為邊長在直線的同側作正三角形，作得兩個正三角形的另一頂點分別為D，E．

（1）如圖①，連結CD，AE，求證：CD=AE；
（2）如圖②，若AB=1，BC=2，求證：∠BDE=90°；
（3）如圖③，將圖②中的正三角形BEC繞B點作適當?shù)男�轉，連結AE，若有DE²+BE²=AE²，試求∠DEB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）欲證明CD=AE，只要證明△ABE≌△DBC即可．
（2）如圖②中，取BE中點F，連接DF，證出△DBF是等邊三角形，進一步得出∴∠FDE=∠FED=30°，即可證明△BDE是直角三角形．
（3）如圖③中，連接DC，先利用勾股定理的逆定理證明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解決問題．

解答 （1）證明：∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}&{\;}\\{∠ABE=∠DBC}&{\;}\\{BE=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE．
（2）證明：如圖②中，取BE中點F，連接DF．
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等邊三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°
∴∠EDB=180°-DEB∠DBE-∠DEB=90°．
（3）解：如圖③中，連接DC，
∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}&{\;}\\{∠ABE=∠DBC}&{\;}\\{BE=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC．
∵DE²+BE²=AE²，BE=CE，
∴DE²+CE²=CD²，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、勾股定理以及勾股定理逆定理、等邊三角形的性質等知識，尋找全等三角形是解決問題的關鍵，學會添加輔助線的方法，屬于中考常考題型．