如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),已知A(2,0)、C(1,3
3
),將△OAC繞AC的中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)O落到點(diǎn)B的位置,拋物線y=ax2-2
3
x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)判斷點(diǎn)B是否在拋物線上;
(3)若點(diǎn)P是x軸上A點(diǎn)左邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),要使△MAD的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(1)將A(2,0)代入y=ax2-2
3
x得,
4a-4
3
=0,
解得a=
3
,
∴拋物線的解析式為y=
3
x2-2
3
x;

(2)由旋轉(zhuǎn)知,四邊形OABC是平行四邊形,
∴BCOA,BC=AO,
∵A(2,0)、C(1,3
3
),
∴xB=1+2=3,yB=yC=3
3
,
∴B(3,3
3
),
將B(3,3
3
)代入y=
3
x2-2
3
x得,
3
×32-2
3
×3=3
3
,
∴點(diǎn)B在拋物線上;

(3)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F,
由y=
3
x2-2
3
x=
3
(x-1)2-
3
得頂點(diǎn)D(1,-
3
),
∵B(3,3
3
),
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中,tan∠BOE=
BE
OE
=
3
3
3
=
3
,
tan∠DAF=
DF
AF
=
3
2-1
=
3
,
∴∠BOE=∠DAF=60°,
∵OA=2,OB=
32+(3
3
)
2
=6,
AD=
(2-1)2+(
3
)
2
=2,
∴△APD和△OAB相似分如下兩種情況:
①APD=∠OAB時(shí)△APD和△OAB相似,
AP
OA
=
AD
OB
,
AP
2
=
2
6
,
解得AP=
2
3
,
∴OP=OA-AP=2-
2
3
=
4
3
,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
4
3
,0);
②∠APD=∠OBA時(shí)△APD和△OBA相似,
AP
OB
=
AD
OA
,
AP
6
=
2
2
,
解得AP=6,
∴OP=AP-OA=6-2=4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0),
綜上所述,點(diǎn)P(
4
3
,0)或(-4,0);

(4)點(diǎn)A(2,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′坐標(biāo)為(-2,0),
根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線,直線A′D與y軸的交點(diǎn)即為使△MAD的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)M的位置,
設(shè)直線A′D的解析式為y=kx+b,
-2k+b=0
k+b=-
3
,
解得
k=-
3
3
b=-
2
3
3
,
∴直線A′D的解析式為y=-
3
3
x-
2
3
3
,
x=0時(shí),y=-
2
3
3
,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-
2
3
3
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.連接AC、BC,B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,0)、C(0,
3
)
,且當(dāng)x=-10和x=8時(shí)函數(shù)的值y相等.
(1)求a、b、c的值;
(2)若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).連接MN,將△BMN沿MN翻折,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒時(shí),B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處?并求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)上下平移該拋物線得到新的拋物線,設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,若△ODE與△OBC相似,求新拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系中,A(-1,0),B(0,2),一動(dòng)點(diǎn)P沿過(guò)B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng),P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,射線BM與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(3)若P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)也同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),t秒后,以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.(點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)),求t的值.
(4)在(2)(3)的條件下,當(dāng)CQ=CP時(shí),求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直線AC分別交x軸y軸于點(diǎn)A(8,0)、C,拋物線y=-
1
4
x2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn);且OB=OC=
1
2
OA,一條與y軸重合的直線l以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移,交拋物線于點(diǎn)P,連接PB、設(shè)直線l移動(dòng)的時(shí)間為t秒,
(1)求拋物線解析式;
(2)當(dāng)0<t<4時(shí),求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在直線l的移動(dòng)過(guò)程中,直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使得P、Q、B、A四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知:如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B三點(diǎn),四邊形OABC是直角梯形,其中點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,BCOA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若D為OA的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,移動(dòng)時(shí)間記為t秒.幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分?并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,作△OBC的外接圓O′,點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)A、B之間的動(dòng)點(diǎn),連接OQ交⊙O′于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.當(dāng)∠BOQ=45°時(shí),求線段MN的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

有一座拋物線形拱橋,正常水位時(shí)橋下水面寬度為20米,拱頂距離水面4米.設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2米,為保證過(guò)往船只順利航行,橋下水面的寬度不得小于18米,則水深超過(guò)______米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下的順利航行.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,如果x1、x2是方程x2-x-6=0的兩個(gè)根(x1<x2)且△ABC的面積為
15
2

(1)求此拋物線解析式;
(2)求直線AC的解析式;
(3)求直線BC的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知拋物線y=x2-x-1與x軸的交點(diǎn)為(m,0),則代數(shù)式m2-m+2011的值為( 。
A.2009B.2012C.2011D.2010

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=-x2+(m-2)x+m+1.
(1)試說(shuō)明:不論m取任何實(shí)數(shù),這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)當(dāng)m為何值時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)?
(3)當(dāng)m為何值時(shí),這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是y軸?

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