Question

已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，﹣n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．

（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)是（﹣8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值．
（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

（1）16 （2）

試題分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣8，代入中，得y=﹣2，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)k=xy求出即可；
（2）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，即可得出k的值，進(jìn)而得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出解析式即可．
解：（1）∵D（﹣8，0），
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣8，代入中，得y=﹣2．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，﹣2）．
∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；
（2）∵N（0，﹣n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，

∴mn=k，B（﹣2m，﹣），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO﹣S_△DBO﹣S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（﹣2m，﹣）在雙曲線與直線上
∴得（舍去）
∴C（﹣4，﹣2），M（2，2）．
設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，把C（﹣4，﹣2）和M（2，2）代入得：

解得．
∴直線CM的解析式是．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．