如圖甲,分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上).若⊙P過A、B、E三點(diǎn)(圓心在x軸上),拋物線y=
1
4
x2+bx+c
經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為G,M是FG的中點(diǎn),正方形CDEF的面積為1.
(1)求B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:ME是⊙P的切線;
(3)設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于N,Q點(diǎn)是此對(duì)稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn),
①求△ACQ周長(zhǎng)的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(1)如圖甲,連接PE、PB,設(shè)PC=n,
∵正方形CDEF的面積為1,
∴CD=CF=1,
根據(jù)圓和正方形的軸對(duì)稱性知:OP=PC=n,
∴BC=2PC=2n,
∵而PB=PE,
∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1,
∴5n2=(n+1)2+1,
解得:n=1或n=-
1
2
(舍去),
∴BC=OC=2,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2);

(2)證明:如圖甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),
∵A,C在拋物線上,
c=2
1
4
×4+2b+c=0
,
解得:
c=2
b=-
3
2
,
∴拋物線的解析式為:y=
1
4
x2-
3
2
x+2=
1
4
(x-3)2-
1
4
,
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=3,即EF所在直線,
∵C與G關(guān)于直線x=3對(duì)稱,
∴CF=FG=1,
∴MF=
1
2
FG=
1
2
,
在Rt△PEF與Rt△EMF中,
∠EFM=∠EFP,
FM
EF
=
1
2
1
=
1
2
,
EF
PF
=
1
2

FM
EF
=
EF
PF

∴△PEF△EMF,
∴∠EPF=∠FEM,
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,
∴ME是⊙P的切線;

(3)①如圖乙,延長(zhǎng)AB交拋物線于A′,連CA′交對(duì)稱軸x=3于Q,連AQ,
則有AQ=A′Q,
∴△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng),
∵A與A′關(guān)于直線x=3對(duì)稱,
∴A(0,2),A′(6,2),
∴A′C=
(6-2)2+22
=2
5
,而AC=
22+22
=2
2
,
∴△ACQ周長(zhǎng)的最小值為2
2
+2
5

②當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí),S=S梯形ACFK-S△AKQ-S△CFQ=
1
2
×(3+1)×2-
1
2
×(2-t)×3-
1
2
×t×1=t+1,
同理,可得:當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí),S=1-t,
當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí),S=t-1.
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相關(guān)習(xí)題

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已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),(0,2),當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí),x的取值范圍是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、E(5,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B(0,5).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)題中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足S△PAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)(1)題中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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某種電纜在空中架設(shè)時(shí),兩端掛起的電纜下垂都近似拋物線y=
1
100
x2的形狀.今在一個(gè)坡度為1:5的斜坡上,俺水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱(如圖),這種情況下在豎直方向上,下垂的電纜與地面的最近距離為( 。
A.12.75米B.13.75米C.14.75米D.17.75米

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如圖,小明把一張長(zhǎng)為20cm,寬為10cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形,再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子.設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為x(cm),折成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為y(cm2),底面積為S(cm2).
(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S=44(cm2)時(shí)x的值;(結(jié)果可保留根式)
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;在x的變化過程中,y會(huì)不會(huì)有最大值?x取何值時(shí)取得最大值,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖所示,橋拱是拋物線形,其函數(shù)解析式是y=-
1
4
x2,當(dāng)水位線在AB位置時(shí),水面寬為12米,這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨萮是______米.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x2+2mx與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-2m的圖象上,PH⊥x軸于H,直線AP交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.(點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合)
(1)如圖1,當(dāng)m=-1時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)如圖2,當(dāng)0<m<
1
2
時(shí),問m為何值時(shí)
CP
AP
=2

(3)是否存在m,使
CP
AP
=2
?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx-7的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn),且A,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在(2)的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠BAP=45°?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△ABP的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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