Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）題中的拋物線上有一個動點P，當點P在拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△PAB=8，并求出此時P點的坐標；
（3）設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），
∴

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0

解得

b=-2 c=-3

．
∴所求解析式為y=x²-2x-3．

（2）設(shè)點P的坐標為（x，y），
由題意：S_△PAB=

1

2

×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
當y=4時，x²-2x-3=4，
∴x₁=2

2

+1，x₂=-2

2

+1；
當y=-4時，x²-2x-3=-4，∴x=1，
∴滿足條件的點P有3個，
即（2

2

+1，4），（-2

2

+1，4），（1，-4）．

（3）在拋物線對稱軸上存在點Q，使△QAC的周長最�。�
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，
∵點A關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點是（3，0），
∴Q是直線BC與對稱軸直線x=1的交點，
設(shè)過點B，C的直線的解析式y(tǒng)=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q點坐標為（1，-2）．