在平面直角坐標系中,矩形ABCO的面積為15,邊OA比OC大2,E為BC的中點,以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點,過點D作DF⊥AE于F.

(1) 求OA,OC的長;
(2) 求證:DF為⊙O′的切線;
(3)由已知可得,△AOE是等腰三角形.那么在直線BC上是否存在除點E以外的點P,使△AOP也是等腰三角形?如果存在,請你證明點P與⊙O′的位置關(guān)系,如果不存在,請說明理由.
(1)解:在矩形ABCO中,設(shè)OC=x,則OA=x+2,
依題意得,x(x+2)=15.
解得(不合題意,舍去)
∴ OC="3" ,OA="5" .    …………………………………1分
(2)證明:連結(jié)O′D,在矩形OABC中,

∵ OC=AB,∠OCB=∠ABC,E為BC的中點,
∴△OCE≌△ABE .
∴ EO="EA" .
∴∠EOA=∠EAO .
又∵O′O= O′D,
∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.
∴ O′D∥EA .
∵ DF⊥AE,
∴ DF⊥O′D .
又∵點D在⊙O′上,O′D為⊙O′的半徑,
∴ DF為⊙O′的切線.    …………………………………3分
(3)答:存在 .
當OA=AP時,以點A為圓心,以AO為半徑畫弧,交BC于點兩點,
則△AO、△AO均為等腰三角形.
證明:過點作H⊥OA于點H,則H=OC=3,
∵ A=OA=5,
∴ AH=4,OH=1.
(1,3).
(1,3)在⊙O′的弦CE上,且不與C、E重合,
∴ 點在⊙O′內(nèi).
類似可求(9,3).
顯然,點在點E的右側(cè),
∴點在⊙O′外.
當OA=OP時,同①可求得,(4,3),(-4,3).
顯然,點在點E的右側(cè),點在點C的左側(cè)
因此,在直線BC上,除了E點外,還存在點, ,,,它們分別使△AOP為等腰三角形,且點在⊙O′內(nèi),點、、在⊙O′外.     …………7分
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