Question

（本題滿分12分）如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形?OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點在x軸正半軸上）.若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)，拋物線y=14x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1.

1.（1）求B點坐標(biāo)；

2.（2）求證：ME是⊙P的切線；

3.（3）設(shè)直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；

②若FQ＝t，S_△ACQ＝S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

 

Answer 1

 

1.（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，

∵正方形CDEF的面積為1，

∴CD=CF=1，

根據(jù)圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，

∴5n²=（n+1）²+1，

解得：n=1或n=- 12（舍去），

∴BC=OC=2，

∴B點坐標(biāo)為（2，2）；

 

2.（2）如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），

∵A，C在拋物線上，

\∴{c=214×4+2b+c=0，

解得：{c=2b=-32，

∴拋物線的解析式為：y=14x²- 32x+2= 14（x-3）²-14，

∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線，

∵C與G關(guān)于直線x=3對稱，

∴CF=FG=1，

∴MF= 12FG=12，

在Rt△PEF與Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵FMEF=121=12，EFPF=12，

∴FMEF=EFPF，

∴△PEF∽△EMF，

∴∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切線；

 

3.

（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ，

則有AQ=A′Q，

∴△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，

∵A與A′關(guān)于直線x=3對稱，

∴A（0，2），A′（6，2），

∴A′C=（6-2）²+2²=25，而AC=2²+2²=22，

∴△ACQ周長的最小值為22+2 5；

②當(dāng)Q點在F點上方時，S=t+1，

當(dāng)Q點在線段FN上時，S=1-t，

當(dāng)Q點在N點下方時，S=t-1．

解析:略