已知二次方程x2+ax+b=0有兩個連續(xù)的整數(shù)根,二次方程x2+bx+a=0有整數(shù)根,求a,b的值.
考點:一元二次方程的整數(shù)根與有理根
專題:
分析:可設(shè)x2+ax+b=0的兩根為n,n+1(n是整數(shù)),則2n+1=-a,n(n+1)=b,則方程x2+bx+a=0可以改寫為x2+n(n+1)x-(2n+1)=0①,分兩種情況:(1)若n≥0,則方程①有一正一負(fù)兩根;(2)若n≤-1,則方程①有兩個負(fù)整數(shù)根;進行討論即可得到a,b的值.
解答:解:設(shè)x2+ax+b=0的兩根為n,n+1(n是整數(shù)),則2n+1=-a,n(n+1)=b,
則方程x2+bx+a=0可以改寫為x2+n(n+1)x-(2n+1)=0①,
(1)若n≥0,則方程①有一正一負(fù)兩根,
設(shè)其正整數(shù)根為m,則
m2+n(n+1)m-(2n+1)=0②,
即mn2+(m-2)n+(m2-1)=0,
∵n是整數(shù),
∴△=(m-2)2-4m(m2-1)≥0,
整理為4m≤
4
m2
+1,
若m≥2,則上式不成立,故0<m<2,
則m=1,
將m=1代入方程②得n2-n=0,
解得n=0,1.
當(dāng)n=0時,a=-1,b=0;
當(dāng)n=1時,a=-3,b=2;
(2)若n≤-1,則方程①有兩個負(fù)整數(shù)根,
即△=n2(n+1)2+4(2n+1)應(yīng)為完全平方數(shù),且為偶數(shù),
由于n≤-1,則n2(n+1)2+4(2n+1)<[n(n+1)]2
故n2(n+1)2+4(2n+1)≤[n(n+1)-2]2,
因此n2+3n≤0,即n=-3,-2,-1,
經(jīng)檢驗,n=-2,-1時,方程①無實根,
當(dāng)n=-3時,方程①為x2+6x+5=0,
其兩根為-1,-5,此時a=5,b=6,
綜合(1)(2)可知,a,b的值為-1,0或-3,2或5,6.
點評:考查了一元二次方程的整數(shù)根和有理根,關(guān)鍵是設(shè)x2+ax+b=0的兩根為n,n+1(n是整數(shù)),則2n+1=-a,n(n+1)=b,將方程x2+bx+a=0改寫為x2+n(n+1)x-(2n+1)=0①,以及分類思想的應(yīng)用.
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下列各組代數(shù)式能合并同類項的是( 。
A、3與x
B、3xy與-2yx2
C、2a2b3與-4a3b2c
D、m和
m
2

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我國教育事業(yè)快速發(fā)展,今年普通高校招生人數(shù)達(dá)698萬人,用科學(xué)記數(shù)法表示698萬人為(  )
A、6.98×102
B、69.8×105
C、6.98×106
D、0.698×107

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等腰三角形的一個角是80°,則它的頂角的度數(shù)是(  )
A、30°
B、80°或20°
C、80°或50°
D、20°

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如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=2,CD=4,tanB=
4
3
.點P在AB上,PM⊥BC于點M,PN⊥CD于點N,若點P從點B開始沿BA向點A運動,
(1)求AB的長度;
(2)設(shè)BP=x,用含x的代數(shù)式表示矩形CMPN的面積S.
(3)當(dāng)點P移動到何位置時,矩形CMPN的面積S取最大值,并求最大值.

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如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=2,∠B=60°,直線MN為梯形ABCD的對稱軸,P為MN上一動點,那么PC+PD的最小值為
 

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如圖,已知直角坐標(biāo)平面上的△ABC,AC=CB,∠ACB=90°,且A(-1,0),B(m,n),C(3,0).若拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過A、C兩點.
(1)求a、b的值;
(2)將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經(jīng)過點B,求新拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中的新拋物的頂點P點,Q為新拋物線上P點至B點之間的一點,以點Q為圓心畫圖,當(dāng)⊙Q與x軸和直線BC都相切時,聯(lián)結(jié)PQ、BQ,求四邊形ABQP的面積.

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(1)小聰在圖書館查閱資料的時間為
 
分鐘,小聰返回學(xué)校的速度為
 
千米/分鐘;
(2)請你求出小明離開學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時間t(分鐘)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)若設(shè)兩人在路上相距不超過0.4千米時稱為可以“互相望見”,則小聰和小明可以“互相望見”的時間共有多少分鐘?

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