Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+mx+4m的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（B點在A點的右邊），與y軸的正半軸交于點C，且（x₁+x₂）-x₁x₂=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）寫出B，C兩點的坐標及拋物線頂點M的坐標；
（3）連接BM，動點P在線段BM上運動（不含端點B，M），過點P作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S．請?zhí)骄浚核倪呅蜳COH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁和x₂的關(guān)系式進而求出m的值，所以可求此二次函數(shù)的解析式；
（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C兩點的坐標；把二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+8配方化為頂點式可求出頂點M的坐標；
（3）過M作MN⊥x軸于N，則ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），所以S=-

3

2

t²+10t=-

3

2

（t-

10

3

）²+

50

3

可求出四邊形PCOH的面積S最大值．

解答：解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x   1 + x   2 =m x   1 x   2 =-4m.

∵（x₁+x₂）-x₁x₂=10，
∴m+4m=10，m=2．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+8．

（2）由-x²+2x+8=0，解得x₁=-2，x₂=4．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9．
∴B，C，M的坐標分別為B（4，0），C（0，8），M（1，9）．

（3）如圖，過M作MN⊥x軸于N，則ON=1，MN=9，OB=4，BN=3．
∵OH=t（1＜t＜4），∴BH=4-t．
由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），
∴S=

1

2

（PH+CO）•OH
=

1

2

（12-3t+8）t
=-

3

2

t²+10t（1＜t＜4）．
S=-

3

2

t²+10t=-

3

2

（t-

10

3

）²+

50

3

．
∵1＜

10

3

＜4．
∴當t=

10

3

時，S有最大值，其最大值為

50

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．