Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)B在y軸上．點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．
（1）求b的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點(diǎn)，則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形？如果能，請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．
（4）以PE為直徑的圓能否與y軸相切？如果能，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即可求出拋物線的解析式和b的值．
（2）PE的長實(shí)際是直線AB的解析式與拋物線的差．由此可得出h，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)和CD的長，由于四邊形PDCE是平行四邊形，因此CD=PE，將CD的長代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，可得出一個關(guān)于x的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的P點(diǎn)，如果有解，那么求出的x就是P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)直線AB的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）假設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，那么此時圓心到y(tǒng)軸的距離為

1

2

PE，即圓心的橫坐標(biāo)（即P的橫坐標(biāo)）為

1

2

h，然后代入（2）的函數(shù)式中即可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）b=1
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²把A（3，4）代入，
得a=1；
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²
即y=x²-2x+1；

（2）h=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x（0＜x＜3）；

（3）要使四邊形DCEP是平行四邊形，必須有PE=DC，
∵y=x+1經(jīng)過點(diǎn)D，
∴D（1，2），
∴-x²+3x=2，
解得x=2或x=1，
∵當(dāng)x=1時，y=2，
∴P（1，2）與D點(diǎn)重合，故舍去，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形；

（4）設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，n），則m=

1

2

h時，該圓與y軸相切，
∵m=x，
∴得x=

-x2+3x

2

，
解得x=1，x=0（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）時，以PE為直徑的圓能與y軸相切．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的判定等知識點(diǎn)．
考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．