Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最�。�請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△ABP周長的最小值；
（3）在線段AC上是否存在點(diǎn)E，使以C、P、E為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似？若存在寫出所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A（-1，0）、點(diǎn)B（0，-5）代入解析式求出即可；
（2）利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而得出直線BC的解析式，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)利用對(duì)應(yīng)邊不同分別得出E點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4××0+c

，
解得

a=1 c=-5

，
故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-4x-5；

（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)C（5，0）．
由于P是對(duì)稱軸x=2上一點(diǎn)，
連接AB，由于AB=

OA2+BO2

=

26

，
要使△ABP的周長最小，只要PA+PB最小．
由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，
則PA+PB=BP+PC=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得PA+PB的最小值為BC．
因而BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意，可得：

b=-5 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
所以直線BC的解析式為y=x-5．
因此直線BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，
解得

x=2 y=-3

，
所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．

（3）存在．
∵A（-1，0），C（5，0），
∴AC=6，
∵P（2，-3），C（5，0），
∴PC=3

2

，
∵B（0，-5），C（5，0），
∴BC=5

2

，
當(dāng)△PEC∽△ABC，
∴

EC

BC

=

PC

AC

，
∴

EC

5 2

=

3 2

6

，
解得：EC=5，
∴E（0，0）；
當(dāng)△EPC∽△ABC，
∴

EC

AC

=

PC

BC

，
∴

EC

6

=

3 2

5 2

，
解得：EC=3.6，
∴OE=5-3.6=1.4，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1.4，0），
綜上所述：以C、P、E為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，0），（1.4，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和利用軸對(duì)稱求最短路徑等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．