Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm， BC=10cm。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF從CD出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s，且EF與BD交于點(diǎn)Q，連接PE、PF。當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)停止。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.
(1)求CD的長(zhǎng)度
(2)當(dāng)PE//AB時(shí)，求t的值；
(3)①設(shè)△PEF的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，當(dāng)△PEF的外接圓圓心O恰好在EF中點(diǎn)時(shí)，則t的值為          （請(qǐng)直接寫出答案）

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，交BC于點(diǎn)M
∵AD//BC，∠A=90°
∴ DM=AB=8cm，BM=AD=6cm
∴CM="4cm,"
∴CD=cm
（2）由題意可求BD=10cm，BP=t,
∴DP="10-t"   DE=t
∵PE//CD
∴△DPE∽△DBA
∴  即
解得t=

（3）①過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD，交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF，交于點(diǎn)G，
∵BD=BC=10cm，CD= cm
∴DH= cm
∴BH= cm
∵EF//CD     易證， EF=CD= ，DQ=DE=t，
∴QP=BD-BP-DQ=10-2t
可證 △QPG∽△DBH
∴  即   ∴PG=
S=
②  t= 

提示：如圖過(guò)點(diǎn)P作MN//AB，則PM⊥AD，PN⊥BC
由題意可知∠EPF=90°
通過(guò)相似可得PM=  PN=
ME==  NF==


由可解得t₁=，t₂=(舍去)  （也可用相似法）

（1）過(guò)D作BC的垂線，設(shè)垂足為M，在Rt△CDM中，由勾股定理即可求得CD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)PE∥CD時(shí)，△DPE∽△DBA，可用t表示出DP、DE的長(zhǎng)，進(jìn)而由相似三角形得到的比例線段求得t的值；
（3）①易知BC=BD=10，則△DBC是等腰三角形，由于EF∥CD，易證DE=DQ=t，QP=10-t；利用△QPG∽△DBH求得PG的長(zhǎng)，然后求△PEF面積表達(dá)式；
②利用相似求出MP、PN、ME、NF的長(zhǎng)度，然后利用勾股定律求出t的值．