Question

正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，∠EAF=45°，∠BAF=15°
（1）求證：DE-EF=BF；
（2）若AD=

3

，求△AEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）在DE上取一點(diǎn)G，使DG=BF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠D=∠ABC=∠ABF=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，∠DAG=∠BAF=15°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AF，然后求出∠BAE的度數(shù)以及∠GAE的度數(shù)，根據(jù)度數(shù)求出∠GAE=∠FAE=45°，再利用“邊角邊”證明△AFE和△AGE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GE，然后根據(jù)圖形邊的關(guān)系進(jìn)行等量代換即可得解；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AED=∠BAE=30°，然后求出DE的長，再求出CE的長，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠AEF=∠AED=30°，從而求出∠CFE=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出EF的長，即GE的長，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算求出△AGE的面積，也就是△AEF的面積．

解答：（1）證明：在DE上取一點(diǎn)G，使DG=BF，
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADG中，

DG=BF ∠D=∠ABF=90° AD=AB

，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，
∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，
∴∠BAE=∠EAF-∠BAF=45°-15°=30°，
∴∠GAE=90°-15°-30°=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△AFE和△AGE中，

AG=AF ∠GAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=GE，
∴EF+BF=EG+DG=DE，
∴DE-EF=BF；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE=30°，
∴DE=

3

AD=

3

×

3

=3，
∴CE=DE-CD=3-

3

，
由（1）△AFE≌△AGE可得∴∠AEF=∠AED=30°，
∴∠CFE=90°-∠AEF-∠AED=90°-30°-30°=30°，
∴GE=EF=2CE=2（3-

3

）=6-2

3

，
∴S_△AGE=

1

2

（6-2

3

）×

3

=3

3

-3，
∴S_△AEF=S_△AGE=3

3

-3．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，題目比較復(fù)雜，需要利用二次全等進(jìn)行證明，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．