Question

如圖，點(diǎn)A在x正半軸上，點(diǎn)B在y正半軸上．tan∠OAB=2．拋物線y=x²+mx+2的頂點(diǎn)為D，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．將上述拋物線沿y軸上下平移后過C點(diǎn)．寫出點(diǎn)C坐標(biāo)及平移后的拋物線解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后拋物線交y軸于B₁，頂點(diǎn)為D₁．點(diǎn)P在平移后的圖象上，且S_△PBB1=2S_△PDD1，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即=2．
∴OA=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
又∵二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象過點(diǎn)A，
∴0=1²+m+2．
解得m=-3，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x+2；

（2）如圖，作CE⊥x軸于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，
①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1），
由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，
設(shè)出解析式為y=x²-3x+c，代入C點(diǎn)作標(biāo)得1=9-9+c，
解得c=1，
所求二次函數(shù)解析式為y=x²-3x+1，
②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-1），
由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，
設(shè)出解析式為y=x²-3x+c，代入C點(diǎn)作標(biāo)得1+3+c=-1，
解得c=-5，
所求二次函數(shù)解析式為y=x²-3x-5；

（3）由（2），經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位后所得的圖象，
那么對(duì)稱軸直線x=不變，且BB₁=DD₁=1，
∵點(diǎn)P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x+1）．
在△PBB₁和△PDD₁中，
∵S_△PBB1=2S_△PDD1，
∴邊BB₁上的高是邊DD₁上的高的2倍．
①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，x=2（x-），得x=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；
②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，x=2（-x），得x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）；
③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，x＜0，又-x=2（-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，-1）；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x-5），同理可得P的坐標(biāo)為（3，-5）；（1，-7），
綜上可知：P的坐標(biāo)為：（3，1）；（3，-5）；（1，-1）；（1，-7）．
分析：（1）二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再根據(jù)tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A代入解析式即可求得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)作標(biāo)即可求解；
（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道中考?jí)狠S題，將解直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)和平移以及點(diǎn)的存在性的探索等問題結(jié)合起來，考查了綜合應(yīng)用各種知識(shí)解題的能力，思維跳躍較大，有一定難度．