Question

（2005•遵義）如圖，點P在x正半軸上，以P為圓心的⊙P與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，⊙P的半徑是4，CD=4

3

．
（1）過點C作⊙P的切線交x軸于點E，求點E的坐標；
（2）若

S△CBO

S△PCO

=n，求滿足下列二個條件的拋物線的解析式：
①過點P、E；
②拋物線的頂點到x軸的距離為n．

Answer 1

分析：（1）連接PC，在在直角△OPC中利用勾股定理即可求得OP的長，得到P的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，然后根據(jù)EC與PC垂直，即可得到直線EC的一次項系數(shù)，然后利用待定系數(shù)法求得直線EC的解析式，令y=0求得E的坐標；
（2）分別求得△CBO和△PCO的面積，即可求得n的值，從而求得拋物線的頂點坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．

解答：解：（1）連接PC，在在直角△OPC中，PC=4，OC=

1

2

CD=2

3

，
則OP=

PC2-OC2

=

16-12

=2，
則P的坐標是（2，0），C的坐標是：（0，2

3

），
設直線PC的解析式是：y=kx+b，
則

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

b=2 3 k=- 3

，
則直線EC的一次項系數(shù)是：

3

3

，
設直線EC的解析式是：y=

3

3

x+c，把C（0，2

3

）代入，得：c=2

3

，
則EC的解析式是：y=

3

3

x+2

3

，
令y=0，解得：x=-6，
則E的坐標是：（-6，0）；

（2）OP=2，則OB=2+4=6，
則S_△CBO=

1

2

OB•OC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
S_△PCO=

1

2

OP•OC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
則n=

6 3

2 3

=3，
∵P的坐標是（2，0），E的坐標是（-6，0），
∴頂點的橫坐標是-1，
當頂點的坐標是（-1，2）時，設函數(shù)的解析式是：y=a（x+1）²+2，把（2，0）代入，得：9a+2=2，解得：a=0（不合題意，舍去），
當頂點坐標是（-1，-2）時，設函數(shù)的解析式是：y=a（x+1）²-2，把（2，0）代入解析式得：9a-2=2，
解得：a=

4

9

，
則函數(shù)的解析式是：y=

4

9

（x+1）²-2．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及直線互相垂直的條件的綜合應用，正確求得E的坐標是關鍵．