Question

如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能確定△ABC為直角三角形的條件的個數(shù)是

 

①∠1=∠A；②

CD

AD

=

DB

CD

；③∠B+∠2=90°；④BC：AC：AB=3：4：5；⑤AC•BD=BC•CD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：求出∠2+∠1=∠2+∠A=90°，即可判斷①；證△ADC∽△CDB，推出∠A=∠1，即可求出∠ACB=90°，即可判斷②，根據(jù)已知推出∠2=∠B，不能推出∠1+∠2=90°，即可判斷③；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷④，根據(jù)已知得出比例式，即可判斷⑤．

解答：解：①∠1=∠A正確；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∵∠1=∠A，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
②正確，
理由是：∵

CD

AD

=

DB

CD

，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠1，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
③錯誤，
理由是：∵∠BDC=90°，
∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，不能推出∠1+∠2=90°，∴③錯誤；
④正確；
∵BC：AC：AB=3：4：5，
∴設BC=3k，AC=4k，AB=5k，
則BC²+AC²=25k²，AB²=25k²，
即BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，即④正確；
⑤正確；
∵AC•BD=BC•CD，
∴

AC

BC

=

CD

DB

，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
無法得到△ACB是直角三角形，∴⑤錯誤；
正確的個數(shù)是3個．
故答案為：3個．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力和辨析能力，題目比較好，有一定的難度．