如圖,A、P、B、C是⊙O上的四點,∠APC =∠BPC = 60°, AB與PC交于Q點.
(1)判斷△ABC的形狀,并證明你的結論;
(2)求證:;
(3)若∠ABP = 15°,△ABC的面積為 4,求PC的長.
(1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°,
∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°,
∴ △ABC是等邊三角形.
(2)如圖,過B作BD∥PA交PC于D,
則 ∠BDP =∠APC = 60°.
又 ∵ ∠AQP =∠BQD,
∴ △AQP∽△BQD, .
∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD.
∴ .
(3)設正△ABC的高為h,則 h = BC? sin 60°.
∵ BC ? h = 4, 即BC ? BC? sin 60° = 4,解得BC = 4.
連接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.
由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°,從而得∠OCE = 30°,
∴ .
由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°.
∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°.
如圖,作等腰直角△RMN,在直角邊RM上取點G,使∠GNM = 15°,則∠RNG = 30°,
作GH⊥RN,垂足為H.設GH = 1,則 cos∠GNM = cos15° = MN.
∵ 在Rt△GHN中,NH = GN ? cos30°,GH = GN ? sin30°.
于是 RH = GH,MN = RN ? sin45°,∴ cos15° = .
在圖中,作OF⊥PC于E,
∴ PC = 2FD = 2 OC ?cos15° = .
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4 | x |
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3 |
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