如圖,在?ABCD中,對(duì)角線BD⊥AB,G為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且△CBG為等邊三角形,∠BCD、∠ABD的角平分線相交于點(diǎn)E,連接CE交BD于點(diǎn)F,連接GE.
(1)若CG的長(zhǎng)為8,求?ABCD的面積;
(2)求證:CE=BE+GE.
考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理
專題:
分析:(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出CD⊥BD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出GC=BC,推出BD=DQ,根據(jù)勾股定理求出DC,根據(jù)面積公式求出即可;
(2)證△CFB∽△CBE,推出
EB
EC
=
BF
BC
,證△BFE∽△CFG,推出
EF
BF
=
FG
CF
,證△CGF∽△CEG,推出
EG
EC
=
FG
CG
,得出
EB
EC
+
EG
EC
=
BF
BC
+
FG
CG
,根據(jù)BC=CG=BG=BF+FG推出
EB+EG
EC
=1即可.
解答:(1)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD∥AB,
∵AB⊥DB,
∴CD⊥BD,
∵△BGC是等邊三角形,
∴BG=BC=CG=8,
∴GD=DB=
1
2
BG=4(三線合一定理),
在Rt△GDC中,由勾股定理得:CD=
82-42
=4
3
,
∴平行四邊形ABCD的面積是CD×BD=4
3
×4=16
3
;

(2)證明:∵△BCG為等邊三角形,
∴∠GBC=∠BGC=∠GCB=60°,
∵BD⊥DC,
∴∠BCD=30°.
∵EC是∠BCD的平分線,
∴∠BCE=∠DCE=15°.
∵BE是∠ABD的平分線,∠ABD=90°,
∴∠EBD=45°,∠EBC=45°+60°=105°.
則∠BEC=180°-105°-15°=60°,
∴∠BEC=∠FBC,
∵∠BCF=∠BCE,
∴△CFB∽△CBE,
EB
EC
=
BF
BC

∵∠GCE=60°-15°=45°=∠EBF,∠BFE=∠GFC,
∴△BFE∽△CFG,
EF
BF
=
FG
CF
,
∵∠EFG=∠BFC,
∴△EFG∽△BFC
∴∠GEF=∠CBF=60°,而∠BGC=60°,
∴△CGF∽△CEG,
EG
EC
=
FG
CG
,
EB
EC
+
EG
EC
=
BF
BC
+
FG
CG
,
∵△BCG為等邊三角形,
∴BC=CG=BG=BF+FG
EB+EG
EC
=1,
∴CE=BE+GE.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,本題綜合性比較強(qiáng),難度偏大.
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A、
2
2
B、
2
-
4
5
C、1-
2
2
D、
2
-1

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