Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點．動點P從點O出發(fā)沿線段OA以每秒4個單位的速度運動，到點A停止，動點Q從點B出發(fā)沿線段BO以每秒3個單位的速度運動，到點O停止，設(shè)P、Q兩點分別從點O、B同時出發(fā)，運動時間為t（秒）．
（1）用含有t的代數(shù)式分別表示P、Q兩點的坐標(biāo)；
（2）若四邊形PQBA為梯形，求t的值．
（3）如圖1，將△POQ繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PCD，當(dāng)點D落在直線AB上時，求點D的坐標(biāo)．
（4）如圖2，以PQ為對稱軸作△POQ的軸對稱圖形△PEQ，當(dāng)△PEQ的一邊與AB平行時，請直接寫出符合條件的所有t的值．

Answer 1

分析 （1）求出OQ，OP的長即可解決問題．
（2）如圖1中，當(dāng)PQ∥AB時，四邊形PQBA是梯形，可得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，解方程即可．
（3）用t表示點D坐標(biāo)，代入直線的解析式即可解決問題．
（4）分五種情形分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由題意BQ=3t，OP=4t，
對于直線y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得y=6，令y=0得x=8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴OB=6，OA=8，
∴Q（0，6-3t），P（4t，0）．

（2）如圖1中，當(dāng)PQ∥AB時，四邊形PQBA是梯形，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=1．
∴t=1s時，四邊形PQBA是梯形．

（3）由題意D（4t+6-3t，4t），即D（t+6，4t），
∵點D在直線y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴4t=-$\frac{3}{4}$（t+6）+6，
∴t=$\frac{6}{19}$s，
∴t=$\frac{6}{19}$s時，當(dāng)點D落在直線AB上時．

（4）如圖2中，
①當(dāng)PQ∥AB時，由（2）可知t=1s．
②當(dāng)EQ∥OA時，PE=OP=OQ，即6-3t=4t，∴t=$\frac{6}{7}$s．
③當(dāng)PE∥OB時，∠OQP=∠QPO=∠QPE=45°，
∴OQ=OP，
∴6-3t=4t，
∴t=$\frac{6}{7}$s．
④當(dāng)QE∥AB時，如圖3中，延長QE交OA于F．
由△PEF∽△BOA得$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PF}{AB}$，
∴PF=$\frac{20t}{3}$，
∴OF=$\frac{32t}{3}$，
∵$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{\frac{32}{3}t}{8}$，
∴t=$\frac{6}{11}$s．
⑤當(dāng)PE∥AB，如圖4中，延長PE交OB于F．
由△QEF∽△ABO，得到$\frac{QF}{AB}$=$\frac{QE}{OA}$，可得QF=$\frac{5}{4}$（6-3t），
∴OF=$\frac{9}{4}$（6-3t），
∵$\frac{OF}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{\frac{9}{4}（6-3t）}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=$\frac{18}{13}$，
綜上所述，當(dāng)△PEQ的一邊與AB平行時，t的值為1s或$\frac{6}{7}$s或$\frac{6}{11}$s或$\frac{18}{13}$s．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．屬于中考壓軸題．