Question

15．已知y是關于x的函數(shù)，且x，y滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$
（1）求函數(shù)y與x的表達式，并在如圖所示的坐標系中畫出它的圖象；
（2）設（1）中的函數(shù)與x軸交于點A，過點C（-1，0）作BC⊥x軸交（1）中函數(shù)圖象于點B，請在x軸上找一點D，連接BD，使得△BCD與△ABC相似（不包括全等），并求出點D的坐標
（3）若點P的坐標為（m，0），求以P為圓心，1為半徑的圓與（1）函數(shù)的圖象有交點時，求m的取值范圍
（4）（2）的條件下，如M、N分別是邊AB、AD上的動點，連接MN，設AM=DN=n，問是否存在這樣的n，使得△AMN與△ADB相似？若存在，請直接寫出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，①×3+②得到，4x+8y=12，即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，畫出一次函數(shù)的圖象即可．
（2）由△BCD與△ABC相似（不包括全等），推出∠ABD=90°，由△BCD∽△ACB，推出$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，求出CD可得D（-2，0），再根據(jù)對稱軸可得D′坐標（1，0）也滿足條件．
（3）如圖3中，當⊙P與直線AB相切時，設切點為E，連接PE，由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，可得$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，推出AP=$\sqrt{5}$，推出OP=3-$\sqrt{5}$，此時m=3-$\sqrt{5}$，當⊙P與直線AB相切于點F時，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此時m=3+$\sqrt{5}$，由此即可解決問題．
（4）這樣的m存在．當d（-2，0）時，分兩種情形討論①當MN∥BD時，△AMN∽△ABD．②當MN⊥AD時，△AMN∽△ADB．分別列方程即可解決問題；當D（-1，0）時同法可求．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，
①×3+②得到，4x+8y=12，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
函數(shù)圖象如圖1所示．


（2）如圖2中，

∵△BCD與△ABC相似（不包括全等），
∴∠ABD=90°，
∵C（-1，0），B（-1，2），A（3，0），
BC=2，AC=4，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC+∠BAC=90°，
∴∠DBC=∠BAC，∵∠BCD=∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{DC}{2}$，
∴CD=1，
∴D（-2，0）．
根據(jù)對稱性當D′（1，0）時，△BCD′與△ABC相似，
綜上所述，當點D坐標為（-2，0）或（1，0）時，△BCD與△ABC相似（不包括全等）．

（3）如圖3中，

當⊙P與直線AB相切時，設切點為E，連接PE，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，PE=1，
由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，
∴AP=$\sqrt{5}$，
∴OP=3-$\sqrt{5}$，此時m=3-$\sqrt{5}$，
當⊙P與直線AB相切于點F時，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此時m=3+$\sqrt{5}$，
∴以P為圓心，1為半徑的圓與（1）函數(shù)的圖象有交點時，m的取值范圍為3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．

（4）這樣的m存在．如圖4中，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2$\sqrt{5}$，
當MN∥BD時，△AMN∽△ABD，則$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{n}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-n}{5}$，
解得n=10$\sqrt{5}$-20，
如圖5中，

當MN⊥AD時，△AMN∽△ADB，
則 $\frac{AM}{AD}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{n}{5}$=$\frac{5-n}{2\sqrt{5}}$，
解得n=25-10$\sqrt{5}$，
當D（1，0）時，同法可得n的值為$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
綜上所述，滿足條件的n的值為10$\sqrt{5}$-20或25-10$\sqrt{5}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓與直線的位置關系、二元一次方程組、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用圖形的特殊位置解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．