Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，BD=3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，與邊AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，以DE為直徑作⊙O交AE于點(diǎn)F．

（1）求⊙O的半徑及圓心O到弦EF的距離；
（2）連接CD，交⊙O于點(diǎn)G（如圖2）．求證：點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)．

Answer 1

（1）3。2.4。
（2）證明見(jiàn)解析

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，證△ACB∽△ADE，得出，代入求出DE=6，AE=10，過(guò)O作OQ⊥EF于Q，證△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可。
（2）連接EG，求出EG⊥CD，求出CF=ED，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出即可。
解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴由勾股定理得：AC=4。
∵AB=5，BD=3，∴AD=8。
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE。
∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE。
∴，即�！郉E=6，AE=10。
∴⊙O的半徑為3。
過(guò)O作OQ⊥EF于Q，則∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA。
∴，即。
∴OQ=2.4，即圓心O到弦EF的距離是2.4。
（2）證明：連接EG，

∵AE=10，AC=4，∴CE=6�！郈E=DE=6。
∵DE為直徑，∴∠EGD=90°。
∴EG⊥CD。
∴點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)。