Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平行線交⊙O與點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線分別交AB、AC的延長線與點(diǎn)E、F．

（1）求證：AF⊥EF．
（2）小強(qiáng)同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)：AF+CF=AB，請你幫忙小強(qiáng)同學(xué)證明這一結(jié)論．

Answer 1

（1）首先連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行線交⊙O與點(diǎn)D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF。
（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點(diǎn)H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB。　

分析：（1）首先連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行線交⊙O與點(diǎn)D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF。
（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點(diǎn)H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB�！�
證明：（1）連接OD，

∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF。
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD。
∴�！郞D⊥BC�！郆C∥EF。
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC。
∴AF⊥EF。
（2）連接BD并延長，交AF的延長線于點(diǎn)H，連接CD，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BH。
∴∠ADB=∠ADH=90°，
∵在△ABD和△AHD中，，
∴△ABD≌△AHD（ASA）�！郃H=AB。
∵EF是切線，∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD�！唷螮DF=∠HDF。
∵DF⊥AF，DF是公共邊，∴△CDF≌△HDF（ASA）�！郌H=CF。
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，即AF+CF=AB。