在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF。
(1)若E是線段AC的中點(diǎn),如圖1,易證:BE=EF(不需證明);
(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),其它條件不變, 如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;并選擇一種情況給予證明。
(2)BE=EF,證明見解析
解:(2)圖2:BE=EF。圖3。
圖2證明如下:過點(diǎn)E作EG∥BC,交AB于點(diǎn)G,

∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形。
∴AB=AC,∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=120°,∴△BGE≌△ECF(SAS)。∴BE=EF。
(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBE=∠ABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠F=∠CEF,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠F=30°,從而得到∠CBE=∠F,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明。
(2)圖2,過點(diǎn)E作EG∥BC,交AB于點(diǎn)G,

根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,∠ACB=60°,再求出△AGE是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AG=AE,從而可以求出BG=CE,再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠BGE=∠ECF=120°,然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。
圖3,證明思路與方法與圖2完全相同, 證明如下:
過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC。
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形。
∴AB=AC∠ACB=60°。
又∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°。
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等邊三角形!郃G=AE!郆G=CE。
又∵CF=AE,∴GE=CF。
又∵∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF(SAS)!郆E=EF。
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