Question

設(shè)s=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20072 + 1 20082

+

1+ 1 20082 + 1 20092

則與s最接近的整數(shù)是（　　）

• A、2009
• B、2006
• C、2007
• D、2008

Answer 1

分析：通過(guò)上式找出規(guī)律，得出通項(xiàng)公式

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

再進(jìn)行化簡(jiǎn)，得結(jié)果為1+

1

n(n+1)

，將自然數(shù)n代入求出結(jié)果，再判斷與a最接近的整數(shù)．

解答：解：∵n為任意的正整數(shù)，
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，
∴s=（1+

1

1×2

）+（1+

1

2×3

）+（1+

1

3×4

）+…+（1+

1

2008×2009

）
=2008+（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=2008+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）
=2009-

1

2009

．
因此與s最接近的整數(shù)是2009．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：用裂項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)

1

n(n+1)

化成

1

n

-

1

n+1

，尋找抵消規(guī)律求和．