設(shè)S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．若S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求S（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．
分析：先分別求出S1，S2，…，Sn的值，再把S表示出來(lái)為S=
3
1×2
+
7
2x3
+…+
n(n+1)+1
n(n+1)
，然后變形為：S=1+
1
1x2
+1+
1
2x3
 +1+
1
3x4
+…+1+
1
n(n+1)
，進(jìn)而變形為：S=1+
1
2
-
1
3
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
n
-
1
n+1
，從而可以得出結(jié)論．
解答：解：∵S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．
∴S1=（
3
2
）2，S2=（
7
6
）2，S3=（
13
12
）2，…，Sn=（
n(n+1)+1
n(n+1)
）2，
∵S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，
∴S=
3
1×2
+
7
2x3
+…+
n(n+1)+1
n(n+1)
，
∴S=1+
1
1x2
+1+
1
2x3
 +1+
1
3x4
+…+1+
1
n(n+1)
，
∴S=1+1-
1
2
+1+
1
3
-
1
4
+…+1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=n+1-
1
n+1
=
n2+2n
n+1
．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道實(shí)數(shù)的計(jì)算題，考查了
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
在計(jì)算題中的實(shí)際運(yùn)用技巧和算術(shù)平方根的運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．
設(shè)S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，則S=
 
 （用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•武漢模擬）設(shè)S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設(shè)S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n為正整數(shù)，則用含n的代數(shù)式表示S為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設(shè)S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，則S等于多少？（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．
解題方案：
第一步 特殊化 即先計(jì)算特殊值
S1
=
S2
=
S3
=
S4
=
第二步 猜想  
Sn
=
第三步 證明（第二步的猜想）
第四步 計(jì)算S．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：武漢模擬 題型：單選題

設(shè)S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設(shè)S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n為正整數(shù)，則用含n的代數(shù)式表示S為（　　）
A．
n2-n-1
n+1
B．
n2+2n
n+1
C．
1
n(n+1)
D．
2n+1
n(n+1)

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同步練習(xí)冊(cè)答案