Question

如圖，P是△ABC中的∠BAC的外角平分線上一點．
（1）求證：PB+PC＞AB+AC；
（2）若P是△ABC的∠BAC的平分線上一點且AC＞AB，畫出圖形，試分析PB、PC、AB、AC間又有怎樣的不等關(guān)系？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）在BA延長線上截取AD=AC，連接DP，由AP平分∠DAC，得到一對角相等，利用SAS得到△ADP≌△ACP，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到PC=PD，在三角形BPD中，根據(jù)三邊關(guān)系得到PB+PD＞BD，等量代換即可得證；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，在AC上截取AE=AB，連接PE，由AP平分∠BAC，得到一對角相等，利用SAS得到△ABP≌△AEP，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BP=EP，在三角形PEC中，利用三角形三邊關(guān)系得到PE+PC＞EC，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：在BA延長線上截取AD=AC，連接DP，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAP=∠CAP，
在△ADP和△ACP中，

AD=AC ∠DAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ADP≌△ACP（SAS），
∴PC=PD，
在△BPD中，PB+PD＞BD=AB+AD，
∴PB+PC＞AB+AC；
（2）解：如圖所示：在AC上截取AE=AB，連接PE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP，
在△ABP和△AEP中，

AB=AE ∠BAP=∠EAP AP=AP

，
∴△ABP≌△AEP（SAS），
∴BP=EP，
在△PEC中，PE+PC＞EC，即PB+PC＞EC=AC-AE=AC-AB．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．