Question

如圖,等邊△ABC的邊長為4,E是邊BC上的動點,EH⊥AC于H,過E作EF∥AC,交線段AB于點F,在線段AC上取點P,使PE＝EB．設(shè)EC＝x（0＜x≤2）．

（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動點,當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時,求平行四邊形EFPQ的面積（用含的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)（2）中 的平行四邊形EFPQ面積最大值時,以E為圓心,r為半徑作圓,根據(jù)⊙E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數(shù),求相應(yīng)的r的取值范圍．

Answer 1

（1）BE、PE；
（2）；
（3）當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是2個時,0＜r＜；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是4個時,r＝；  
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是6個時,＜r＜2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是3個時,r＝2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是0個時,r＞2．

試題分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥AC,可得等邊三角形BEF,則可寫出與EF相等的線段；
（2）根據(jù)（1）可知EF=BE=4﹣x,要求平行四邊形的面積,只需求得EF邊上的高．作EH⊥AC于H,根據(jù)30度的直角三角形EHC進(jìn)行表示EH的長,進(jìn)一步求得平行四邊形的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點式或頂點的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時x的值,分析平行四邊形的位置和形狀．然后根據(jù)公共點的個數(shù)分析圓和平行四邊形的各邊的位置關(guān)系,進(jìn)一步根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得r的取值范圍．
試題解析：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條；
（2）作EQ∥FP交FE于E,
設(shè)EC為x
∵EH⊥AC,
∴∠EHC=90°
∴△CHE為直角三角形
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠C=60°
在Rt△CHE中,∠CHE=90°,∠C=60°,
∠HEC=180°﹣∠C﹣∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE²=EC²﹣HC²
∴,
∵EF∥AC,FP∥EQ
∴四邊形EFPQ為平行四邊形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4﹣x
∴；

（3）因為,所以當(dāng)x＝2時,平行四邊形EFPQ的面積最大．此時E、F、P分別為△ABC的三邊BC、AB、AC的中點,且C、Q重合,四邊形EFPQ是邊長為2的菱形（如圖）．

過點E點作ED⊥FP于D,則ED＝EH＝．
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是2個時,0＜r＜；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是4個時,r＝；  
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是6個時,＜r＜2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是3個時,r＝2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數(shù)是0個時,r＞2．