Question

16．用正方形紙折疊：將正方形紙片的一角折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，折痕為EF，再把BE折過(guò)去與EA′重合，EH為折痕．

（1）AE=A′E，BE=B′E，∠FEH=90°；
（2）將正方形的形狀大小完全一樣的四個(gè)角按上面的方式折疊就得到了圖2如圖所示的正方形EFGH，且不重合的部分也是一個(gè)正方形；
①若點(diǎn)A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中點(diǎn)，若正方形A′B′C′D′的面積是4，則大正方形ABCD的面積是36；
②如圖3，A′E=B′H=C′G=D′F=3，正方形ABCD的周長(zhǎng)比正方形A′B′C′D′的周長(zhǎng)的2倍小36，你能求出正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，即可得到結(jié)論；
（2）①由正方形A′B′C′D′的面積是4，求得A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到EB′=HC′=GD′=FA′=4，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=BE′=4，求得AB=AE+BE=6，根據(jù)正方形的面積即可得到結(jié)論；
②設(shè)正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵將正方形紙片的一角折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，折痕為EF，再把BE折過(guò)去與EA′重合，EH為折痕，
∴△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，
∴AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，
∴∠FEH=∠FEA′+∠HEB′=$\frac{1}{2}$∠AEB=90°，
故答案為：A′E，B′E，90°；

（2）①∵正方形A′B′C′D′的面積是4，
∴A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，
∵點(diǎn)A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中點(diǎn)，
∴EB′=HC′=GD′=FA′=4，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=BE′=4，
∴AB=AE+BE=6，
∴正方形ABCD的面積是36；
故答案為：36；
②設(shè)正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為x，
根據(jù)題意得：2×4x-36=4（x+3+3），
解得：x=15，
∴A′B′C′D′的邊長(zhǎng)=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的面積和周長(zhǎng)的計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．