Question

20．如圖，已知函數(shù)y=x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過點B（0，-1），并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D．
（1）若點D的橫坐標為1，求A點、D點、C點的坐標；
（2）在第（1）小題的條件下，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（3）在第（1）小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形？如果存在，求出點P坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點D在直線y=x+1上，點D的橫坐標為為1即可求出點D坐標，用待定系數(shù)法求出直線y=kx+b即可求出A點、B點坐標．
（2）根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD即可求出．
（3）分B、D、P為頂點三種情形即可求出．

解答 解：（1）∵點D在直線y=x+1上，點D的橫坐標為1，
∴D（1，2），
∵直線y=kx+b經過D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=3x-1，
∴A（0，1），C（$\frac{1}{3}$，0），D（1，2）．
（2）S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①當B為頂點時，BP=BD時，P（0，$\sqrt{10}-1$）或（0，-1-$\sqrt{10}$），
②當D為頂點時，DP=DB，P（0，5），
③當P為頂點時，PD=PB，BD的中點為E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設過點E垂直BD的直線為y=-$\frac{1}{3}$x+b′點E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直線為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴點P為（0，$\frac{2}{3}$）．
綜上所述點$P（0，5），（0，\sqrt{10}-1），（0，-\sqrt{10}-1），（0，\frac{2}{3}）$．

點評 本題考查一次函數(shù)的求法、坐標系中四邊形面積的求法、等腰三角形等有關知識，學會用分割法求面積，求點P坐標時需要分類討論，不能漏解．