Question

（2012•李滄區(qū)一模）【問題引入】
幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，水桶有大有小．他們?cè)撛鯓优抨?duì)才能使得總的排隊(duì)時(shí)間最短？
假設(shè)只有兩個(gè)人時(shí)，設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘（顯然T＞t），若拎著大桶者在拎著小桶者之前，則拎大桶者可直接接水，只需等候T分鐘，拎小桶者一共等候了（T+t）分鐘，兩人一共等候了（2T+t）分鐘；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出兩人接滿水等候（T+2t）分鐘．可見，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，拎小桶者應(yīng)排在拎大桶者前面．這樣，我們可以猜測(cè)，幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，需將他們按水桶從小到大排隊(duì)．
規(guī)律總結(jié)：
事實(shí)上，只要不按從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎著大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交還位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣介意計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了

2m+2t+T

分鐘，共節(jié)省了

T-t

分鐘，而其他人等候的時(shí)間未變，這說明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少．這樣經(jīng)過一系列調(diào)整后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．
【方法探究】
一般的，對(duì)某些設(shè)計(jì)多個(gè)可變對(duì)象的數(shù)學(xué)問題，先對(duì)其少數(shù)對(duì)象進(jìn)行調(diào)整，其他對(duì)象暫時(shí)保持不變，從而化難為易，取得問題的局部解決．經(jīng)過若干次這種局部的調(diào)整，不斷縮小范圍，逐步逼近目標(biāo)，最終使問題得到解決，這種數(shù)學(xué)思想就叫做局部調(diào)整法．
【實(shí)踐應(yīng)用1】
如圖1在銳角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？
解析：
（1）先假定N為定點(diǎn)，調(diào)整M到合適的位置使BM+MN有最小值（相對(duì)的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N'），連接BN′交AD于M，則M點(diǎn)是使BM+MN有相對(duì)最小值的點(diǎn)．（如圖2，M點(diǎn)是確定方法找到的）
（2）在考慮點(diǎn)N的位置，使BM+MN最終達(dá)到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使

BM+MN′=BN′

，此時(shí)BM+MN的最小值是

4

．
【實(shí)踐應(yīng)用2】
如圖3，把邊長(zhǎng)是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的小正方形內(nèi)（包括邊界）分別取點(diǎn)P、R，于已知格點(diǎn)Q（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)）構(gòu)成三角形，則△PQR的最大面積是

2

，請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出面積最大時(shí)的△PQR的圖形．

Answer 1

分析：【問題引入】表示出拎小桶者先接水時(shí)等候的時(shí)間，然后加上拎大桶者一共等候者用的時(shí)間，用（2m+2T+t）減去二者的和就是節(jié)省的時(shí)間；
【實(shí)踐應(yīng)用1】
從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值；
【實(shí)踐應(yīng)用2】
利用局部調(diào)整法即可確定當(dāng)P在A點(diǎn)，R在G點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最大，即可求得面積的最大值．

解答：解：【問題引入】設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已等候了m分鐘，這樣拎小桶者接滿水一共等候了（m+t）分鐘，拎大桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2t+T）分鐘，共節(jié)省了（2m+2T+t）-（2m+2t+T）=T-t分鐘．
故答案是：2m+2t+T；
【實(shí)踐應(yīng)用1】
（2）解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，
又AB=4

2

，∠BAC=45°，此時(shí)，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值為4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案是：BM+MN′=BN′，4；
【實(shí)踐應(yīng)用2】
解：當(dāng)P在A的位置時(shí)，R在線段GF上時(shí)，△PQR的面積最大，最大面積是：
S_△PQR=

PQ•QR

2

=

2×2

2

=2．
同理當(dāng)R在G點(diǎn)時(shí)，P在AB上時(shí)，△PQR的面積最大，最大值是2．
∴△PQR的最大面積是2
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)中的局部調(diào)整思想，正確確定當(dāng)P在A點(diǎn)，R在G點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最大是解題的關(guān)鍵．