Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，分別以AB，CA為底邊向△ABC外作等腰三角形ABR和等腰三角形CAQ，連接RQ交AB于點T．
（1）當(dāng)α=45°，△ABR和△CAQ都是等腰直角三角形時，$\frac{RT}{TQ}$=1．
（2）當(dāng)α=30°，△ABR和△CAQ都是等邊三角形時，求$\frac{RT}{TQ}$的值．
（3）當(dāng)△ABR和△CAQ的底角都是90°-α，tanα=m，直接寫出$\frac{RT}{TQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，只要證明四邊形ARGQ是平行四邊形即可．
（2）如圖2中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，只要證明四邊形ARGQ是平行四邊形即可．
（3）如圖3中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，只要證明四邊形ARGQ是平行四邊形即可．

解答 解：（1）如圖1中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=∠RAB=∠QAC=45°，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四邊形ARGQ是平行四邊形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．
故答案為1．

（2）如圖2中，如圖1中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=30°，∠RAB=∠QAC=60°，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四邊形ARGQ是平行四邊形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．

（3）如圖3中，如圖1中，過點Q作QH⊥AC于H，延長交AB于G，連接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=α，∠RAB=∠QAC=90°-α，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四邊形ARGQ是平行四邊形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行四邊形解決問題，屬于中考�？碱}型．