Question

如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點Q．
問：是否存在點P，使得QP=QO；

 

（用“存在”或“不存在”填空）．若存在，滿足上述條件的點有幾個？并求出相應(yīng)的∠OCP的大��；若不存在，請簡要說明理由：

 

．

Answer 1

分析：點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段AO上，點P在OB上，點P在OA的延長線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．

解答：解：①根據(jù)題意，畫出圖（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCQ+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即∠OCQ+30°+∠OCQ+30°+∠OCQ=180°，
解得∠OCQ=40°，
即∠OCP=40°．

②當(dāng)P在線段OA的延長線上（如圖2）
∵OC=OQ，∴∠OQP=

180°-∠QOC

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=

180°-∠OQP

2

②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，則∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③當(dāng)P在線段OA的反向延長線上（如圖3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=

180°-∠COQ

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=

180°-∠OQP

2

②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④聯(lián)立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

故答案為：40°、20°、100°．

點評：注意：分三種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．