Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC、PD．若△DPC為直角三角形，則BE的長為3或$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情形討論：①如圖1中，當∠PDC=90°時．②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．

解答 解：①如圖1中，當∠PDC=90°時，

∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠PDC=180°，
∴A、D、P共線，
∵EA=EP，∠AEP=90°，
∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，∵∠B=90°
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴BE=AB=3．
②如圖2中，當∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，

∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠PEF}\\{∠B=∠F=90°}\\{AE=EP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，
∴CF=3-（5-x）=x-2，
∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，
∴PH²=DH•CH，
∴（x-2）²=x（3-x），
∴x=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$（舍棄），
∴BE=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，
綜上所述，當△PDC是直角三角形時，BE的值為3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．
故答案為3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．