Question

如圖：△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP．
（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AP，E是垂足，并延長(zhǎng)CE交∠BAC的外角∠CAM于點(diǎn)D，求證：CE=ED；
（3）當(dāng)△ABC再添加一個(gè)條件，可得AP∥BC，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)條件（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于點(diǎn)E、F、G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PE=PF，PF=PG，故可得出PE=PG，由此可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)ASA定理得出△ADE≌△ACE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于點(diǎn)E、F、G，
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）證明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE與△ACE中，
∵

∠DAE=∠CAE AE=AE ∠AED=∠AEC

，
∴△ADE≌△ACE，
∴CE=DE；

（3）當(dāng)∠DAE=∠ABC時(shí)，AP∥BC．
故添加的條件可以為：∠DAE=∠ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．