Question

如圖，已知△OAB的頂點(diǎn)A（﹣6，0），B（0，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．

（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）證明AB⊥BE．

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；（2），頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-2，8）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理的逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度不大．運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是中考的�？键c(diǎn)，需熟練掌握，解題時(shí)根據(jù)條件設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪�，能使�?jì)算簡(jiǎn)便．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OC=OB，OD=OA，進(jìn)而可得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于拋物線過(guò)點(diǎn)A（-6，0），C（2，0），所以設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-2）（a≠0），再將D（0，6）代入，求出a的值，得出拋物線的解析式，然后利用配方法求出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）已知A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，則AB²+BE²=AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE．
試題解析：
解：（1）∵將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；
（2）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（-6，0），C（2，0），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x-2）（a≠0），
∵D（0，6）在拋物線上，
∴6=-12a，
解得a=，
∴拋物線的解析式為
∴
∵
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，8）；
（3）連接AE．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．