Question

如圖，P為正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心將△ABC順時針旋轉使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點．
（1）畫出旋轉后的圖形，此時△ABP繞點B旋轉了多少度？
（2）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）解：如圖所示，此時△ABP繞點B順時針旋轉了90°；

（2）證明：由已知可得：△ABP≌△CBG，
∴BP=BG，∠ABP=∠CBG，
CG=AP=1，
又∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBG+∠PBC=90°，
∴∠PBG=90°，
∴在Rt△PBG中，PG²=BP²+BG²=8，
又∵GC²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PG²+GC²，
∴△PGC是直角三角形．
分析：（1）根據(jù)旋轉中心，旋轉方向，旋轉后的位置，畫出圖形，求出旋轉角度數(shù)；
（2）由旋轉的性質可得可得：△ABP≌△CBG，旋轉角∠PBG=90°，BP=BG=2，先求PG，在△PCG中，已知PC=3，CG=AP=1，利用勾股定理的逆定理證明△PGC是直角三角形．
點評：本題考查了旋轉的性質--旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變；以及勾股定理的逆定理的運用．