Question

（2009•梅州一模）如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙0與BC相切于點(diǎn)M，與AB、AD分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：CD與⊙0相切；
（2）若⊙0的半徑為

2

，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD，垂足為N，根據(jù)正方形性質(zhì)推出∠ACB=∠ACD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出OM=ON即可；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，證△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD，垂足為N，
∵⊙0與BC相切于M，
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM=ON
∴CD與⊙O相切．

（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∵∠OCM=∠ACB，∠OMC=∠B=90°，
∴△COM∽△CAB，
∴

OM

AB

=

CO

CA

，
∴

2

a

=

2 a- 2

2 a

解得a=

2

+1，
∴正方形ABCD的邊為

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題型較好，難度適中．