Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，E為BC延長線上一動點，過A、B、E三點作⊙O′，連接AE，在⊙O′上另有一點F，且AF=AE，AF交BC于點G，連接BF．下列結(jié)論：①BE+BF的值不變；②

BF

AF

=

BG

AG

，其中有且只有一個成立，請你判斷哪一個結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論．

Answer 1

（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD=2+1=3，CD=1
∴C點坐標(biāo)為（-3，1），
∴拋物線經(jīng)過點C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=

1

2

∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2

（2）在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形．
以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABPQ，過P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，可證△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P點坐標(biāo)為（2，1），Q點坐標(biāo)為（1，-1）．
由（1）拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2
當(dāng)x=2時，y=1；當(dāng)x=1時，y=-1．
∴P、Q在拋物線上．
故在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形．

（2）另在拋物線（對稱軸右側(cè)）上存在點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形．
延長CA交拋物線于Q，過B作BP∥CA交拋物線于P，連PQ，設(shè)直線CA、BP的解析式分別為y=k₁x+b₁；y=k₂x+b₂，
∵A（-1，0），C（-3，1），
∴CA的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

，
同理得BP的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+2，
解方程組

y=- 1 2 x- 1 2 y= 1 2 x2+ 1 2 x-2

，
得Q點坐標(biāo)為（1，-1），
同理得P點坐標(biāo)為（2，1）
由勾股定理得AQ=BP=AB=

5

，而∠BAQ=90°，四邊形ABPQ是正方形，
故在拋物線（對稱軸右側(cè)）上存在點P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形．
（3）結(jié)論②

BF

AF

=

BG

AG

成立，
證明如下：連EF，過F作FM∥BG交AB的延長線于M，則△AMF∽△ABG，
∴

MF

AF

=

BG

AG

由（1）知△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°
∵AF=AE
∴∠AEF=∠1=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直徑．
∴∠EBF=90°，
∵FM∥BG，
∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°，
∴BF=MF，
∴

BF

AF

=

BG

AG

．